ΣΤ΄ Τάξη....Από μακριά...Μαθηματικά (4): Αριθμητικές παραστάσεις

ΣΤ’ Τάξη… Από μακριά… Αριθμητικές παραστάσεις

Ασκήσεις

1) Να διακρίνετε από τις παρακάτω  προτάσεις ποιες είναι σωστές  (Σ) και ποιες λανθασμένες  (Λ)

Α)  Σε μια αριθμητική  παράσταση  που έχει όλες τις πράξεις, η τελευταία πράξη που θα χρειαστεί να εκτελέσω θα είναι μια διαίρεση ή ένας πολλαπλασιασμός.                                       ⃝

 Β) Σε μια αριθμητική  παράσταση εκτελώ τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις από τα αριστερά προς τα       δεξιά.                                                                                                                           ⃝

  Γ)  Η αριθμητική παράσταση   ( 100 – 60 )  : 8 × 2 +20 : 4 γίνεται:

       (100 – 0):16+5                                                                                                        ⃝

Δ) Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης  8 : 4 – 15 × 0,1 είναι 0,5                 ⃝

Ε) Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης 1 : 20 + 1 : 10 είναι 0,105                 ⃝

2)  Να υπολογίσετε τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις:

α)  (83,5 -12,5) + (60,5 – 58) =

β)  5 × (3 +12) – 15 : 3 + 4 × 5 + 20 =

γ) 10 : 2 × 1,5 – (1 - 0,5) × 5 + (10 – 8) : 4 =

3)  Να τοποθετήσετε κατάλληλα τις παρενθέσεις, ώστε να ισχύουν οι ισότητες:

α)  15 – 5 × 4 + 1 = 50             β) 4 + 6 × 3 + 2 = 50              
 γ) 5  + 1 × 5 + 20 =50

Προβλήματα

1) Έχουμε την περίοδο «Να πολλαπλασιάσετε το 20 με το 2,5 και στο γινόμενό τους να προσθέσετε το 30. Το άθροισμα που θα βρείτε να το διαιρέσετε με το 4». Να την γράψετε με αριθμητική παράσταση και να την υπολογίσετε.

2) Η κ. Ασπασία θέλει να φτιάξει ένα φόρεμα για την ανιψιά της. Αγόρασε 3 μέτρα ύφασμα με 6, 95 € το μέτρο, 1,80 μ φόδρα με 2,20 €  το μέτρο, και 6 κουμπιά με 0,35 €  το ένα. Πλήρωσε και τον ράφτη  78€. Πόσο της στοίχισε το φόρεμα; (Να το λύσετε με αριθμητική παράσταση)

3) Πέντε φίλοι, πριν την καραντίνα, πήγαν για φαγητό. Παράγγειλαν 3 ορεκτικά πιάτα με 4,60 € το ένα, 3 σαλάτες με 3, 60 € τη μία, 2 σαλάτες ζυμαρικών με 4,55€ τη μία και τέσσερις μακαρονάδες σπέσιαλ με 5,80 €  τη μία. Πόσα χρήματα πλήρωσε ο καθένας; (Να το λύσετε με αριθμητική παράσταση.)

4) Η Πέμπτη και η Έκτη τάξη ενός γειτονικού δημοτικού σχολείου έχουν 84 παιδιά. Τα μισά παιδιά παίζουν ποδόσφαιρο, 14 παιδιά παίζουν βόλεϊ και τα υπόλοιπα παίζουν μπάσκετ. Πόσα παιδιά παίζουν μπάσκετ; (Να το λύσετε με αριθμητική παράσταση)

ΣΤ' Τάξη...Από μακριά...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης

 

ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΟΝ Μ.Κ.Δ.

A΄ ΤΡΟΠΟΣ: Ο σίγουρος

Για να βρούμε τον Μ.Κ.Δ. δύο ή περισσοτέρων αριθμών:

1. Υπολογίζουμε τους διαιρέτες των αριθμών.

2. Βρίσκουμε τους κοινούς.

3. Παίρνουμε τον μεγαλύτερο.

Για παράδειγμα, θέλουμε να βρούμε τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών 12, 20, 30.

Υπολογίζουμε τους διαιρέτες τους:

Του 12:  1,  2,  3,  4,  6,  12

Του 20:  1,  2,  4,  5,  10,  20

Του 30:  1,  2,  3,  5,  6,  10,  15,  30

Κοινοί διαιρέτες: 1,  2

Άρα Μ.Κ.Δ._{(12, 20, 30)} = 2

Β΄ ΤΡΟΠΟΣ: Ο εύκολος (το κόλπο)

1. Βάζουμε στην σειρά τους αριθμούς για τους οποίους θέλουμε να βρούμε τον Μ.Κ.Δ.

2. Από κάτω ξαναγράφουμε τον μικρότερο αριθμό.
Κάτω από τους άλλους γράφουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης με αυτόν τον αριθμό.

Για παράδειγμα, θέλουμε να βρούμε τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών 12, 20 και 30.
Κάτω από το 12 ξαναγράφουμε το 12.
Κάτω από το 20 γράφουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης 20:12, δηλ. το 8.
Κάτω από το 30 γράφουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης 30:12, δηλ. το 6.

12	20	30
12	8	6

3. Συνεχίζουμε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, μέχρι να φτάσουμε στο σημείο να έχουμε παντού 0 εκτός από έναν αριθμό, ο οποίος και θα είναι ο Μ.Κ.Δ.

    Στην δεύτερη σειρά, τώρα, έχουμε το 12, το 8 και το 6.
Κάτω από το 6 (το μικρότερο) ξαναγράφουμε το 6.
Κάτω από το 12 γράφουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης 12: 6, δηλ. το 0.
Κάτω από το 8 γράφουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης 8:6, δηλ. το 2.

  

12	20	30
12	8	6
0	2	6

4. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο:

Κατεβάζουμε το 2, κλπ.

12	20	30
12	8	6
0	2	6
0	2	0

5. Φτάσαμε επομένως στο σημείο όπου στην τελευταία σειρά έχουμε έναν αριθμό (το 2)  και τα υπόλοιπα είναι 0.

Άρα Μ.Κ.Δ._{(6, 10, 12)} = 2.

* Ας λύσουμε τώρα τις παρακάτω ασκήσεις και  προβλήματα με Μ.Κ.Δ.

1)  Να βρείτε τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών

α) 24      42           54  (Με τον α’ τρόπο)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

β) 48      60           84 ( Με τον β’ τρόπο)

γ) 16      24           32    (Με τον β’ τρόπο)

 

 δ) 16      24           32   ( Με τον β’ τρόπο)

2)  24 αγόρια και 36 κορίτσια εργάζονται σε όμοιες ομάδες. Πόσα, το πολύ, αγόρια και κορίτσια θα υπάρχουν σε κάθε ομάδα;

3)  Έχουμε 90 κάρτες και τις βάζουμε σε φακελάκια που το κάθε φακελάκι χωρά μέχρι 20 κάρτες. Πόσες μπορούμε να βάλουμε σε κάθε κουτί χωρίς να περισσέψει καμία κάρτα;

4)  Η Δήμητρα θέλει να στολίσει το μπαλκόνι της με στήλες από χρωματιστά μπαλόνια, ώστε να περνά πιο όμορφα με τον  αδερφό της τις ατέλειωτες ώρες της παραμονής στο σπίτι. Ο μπαμπάς τους τούς έφερε 50 κίτρινα, 40 κόκκινα και 60 πράσινα μπαλόνια και θέλει να φτιάξει όσο το δυνατόν περισσότερες όμοιες στήλες

®  Πόσες στήλες θα φτιάξει με τα μπαλόνια;

®  Πόσα μπαλόνια από το κάθε χρώμα θα βάλει σε κάθε στήλη; 

ΣΤ' τάξη...Από μακριά...Ασκήσεις Μαθηματικών -Ε.Κ.Π.

Τις παρακάτω ασκήσεις τις έχετε και στο ηλεκτρονικό σας ταχυδρομείο. Για καλύτερη διαχείριση, να' τες και στο ιστολόγιο...

ΣΤ΄Τάξη…Από μακριά…(2)

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ενός αριθμού ονομάζονται οι αριθμοί που προκύπτουν όταν πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό αυτό με άλλους φυσικούς αριθμούς.

 Βρίσκουμε τα πολλαπλάσια, αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό αυτόν με το 1, το 2, το 3, το 4……, το 100,……το 1000.

Ξαναθυμόμαστε ότι τα πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι άπειρα.

ΚΟΙΝΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ δύο ή περισσότερων αριθμών είναι τα πολλαπλάσια που είναι ίδια (κοινά) σε όλους τους αριθμούς. Και τα κοινά πολλαπλάσια είναι άπειρα.

Π.χ: Π (3): 0,3,6,9,12,15,18, 21, 24, 27…..

        Π (4): 0,4,8,12,16,20,24….

        Π (6): 0,6,12,18, 24, 30,36

Άρα, κοινά πολλαπλάσια του 3 και του 4 είναι το 12, το 24 κλπ.

ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ είναι το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών που εξετάζουμε. ΠΡΟΣΟΧΗ! Όχι το 0.  Στο παράδειγμά μας, το Ε.Κ.Π. είναι το 12

Ξαναθυμόμαστε τους δύο τρόπους, με τους οποίους βρίσκαμε στην τάξη το Ε.Κ.Π.

1oς τρόπος:

Τα πολλαπλάσια του 3 είναι: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...

Τα πολλαπλάσια του 4 είναι: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...

Τα πολλαπλάσια του 6είναι: 6, 12, 18, 24, 30, ...

  Παρατηρούμε ότι το 12  είναι το πρώτο κοινό τους πολλαπλάσιο, άρα αυτό είναι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο. Οι αριθμοί 3, 4, και 6 έχουν και άλλο κοινά πολλαπλάσια.

2^ος τρόπος:
Θέλουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 3, 4 και 6

• Γράφουμε τους αριθμούς στην ίδια σειρά. Δεξιά από τον τελευταίο τραβάμε μία κατακόρυφη γραμμή.
• Εξετάζουμε αν ένας τουλάχιστον αριθμός διαιρείται ακριβώς  με το 2, και γράφουμε το 2 δεξιά της γραμμής.
  (Αν δεν διαιρείται κανείς, πάμε στο 3, αν δεν διαιρείται πάλι κανείς πάμε στο 5, μετά στο 7, στο 11, …)
  Στο παράδειγμά μας όλοι διαιρούνται με το 2, έτσι το γράφουμε στα δεξιά και συνεχίζουμε σχηματικά όπως βλέπουμε από κάτω:

3              4              6             2

3              2              3             2

3              1              3             3                            

1              1              1

                                                               

                                             Άρα Ε.Κ.Π. (3, 4, 6) =2 × 2 × 6 = 12

3^ος τρόπος

Είχαμε πει στην τάξη και για τον γρήγορο τρόπο:

-Παίρνουμε τον μεγαλύτερο αριθμό. Εξετάζουμε αν είναι πολλαπλάσιο ταυτόχρονα των άλλων.

- Εάν είναι, αυτός είναι και το Ε.Κ.Π. Εάν δεν είναι, παίρνουμε τον διπλάσιό του και εξετάζουμε το ίδιο πράγμα.

-Εάν δεν είναι και πάλι πολλαπλάσιο των άλλων, παίρνουμε τον τριπλάσιό του και ελέγχουμε ξανά.

-Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο, μέχρι να βρούμε ένα πολλαπλάσιο του μεγαλύτερου αριθμού που να είναι πολλαπλάσιο ταυτόχρονα και των άλλων αριθμών. Αυτό θα είναι και το Ε.Κ.Π.

α. Παίρνουμε το 6. Είναι πολλαπλάσιο του 3, αλλά όχι και του 4.
β. Παίρνουμε το διπλάσιο του 6, το 12. Είναι πολλαπλάσιο και του 3 και του 4! 
Άρα: Ε.Κ.Π. (3,4,6) = 12.
●  Όλοι οι παραπάνω τρόποι έχουν αναπτυχθεί και στα τετράδιά μας. Μπορείτε να τους ξαναθυμηθείτε….

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

  Ας λύσουμε τις παρακάτω ασκήσεις για να ξαναθυμηθούμε το Ε.Κ.Π.

1) Να βρείτε το Ε.Κ.Π. των αριθμών με δύο τουλάχιστον από τους παραπάνω τρόπους:
α) 8      24        32                                β) 20    30        50






2) Ο γυμναστής ενός γυμνασίου χώρισε τους μαθητές των δύο τμημάτων της ΣΤ΄ τάξης  σε τετράδες, σε πεντάδες κι σε εξάδες χωρίς να περισσέψει κανένας μαθητής. Πόσους, το λιγότερο, μαθητές έχει η ΣΤ’ τάξη;






3) Δύο πλοία θα ξεκινήσουν τη Δευτέρα 30 Μαρτίου από τον Πειραιά, θα εκτελούν δρομολόγια στα νησιά του Αιγαίου και θα επιστρέφουν στον Πειραιά. Το πρώτο πλοίο θα επιστρέφει κάθε δυο μέρες (48 ώρες) στον Πειραιά, ενώ το δεύτερο θα επιστρέφει κάθε 3 μέρες (έπειτα από 72 ώρες).Ποια μέρα του Απρίλη θα γίνει η επόμενη συνάντησή τους στο λιμάνι του Πειραιά;